矩阵的行和与特征值的关系

小希 2023-12-06 14:25:16

矩阵特征值行和

矩阵是线性代数中十分重要的概念，它是由若干行和若干列组成的方形数组。而特征值则是矩阵在线性变换下的不变量之一。那么，在这两个概念之间是否存在联系呢？本文将从多个角度解析矩阵的行和与特征值的关系。

矩阵的行和与特征值的关系

矩阵的行和与特征值的关系

一、矩阵行和与特征值定义

为了更好地理解矩阵行和与特征值的关系，先来简单介绍二者的定义。矩阵的行和是指矩阵中每行元素之和的结果，一般用S表示，例如：

$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$ 的行和为$\begin{bmatrix}6\\15\\24\end{bmatrix}$

而矩阵的特征值则是指在方阵矩阵线性变换下不变的标量 λ，即 A x = λ x，其中 A 表示方阵矩阵，x 表示非零向量。例如：

$\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ 的特征值 λ1=3 和 λ2=1

二、矩阵行和与特征值的数值关系

矩阵的行和与特征值是否存在数值关系呢？在这里，我们以二维矩阵为例来简单探讨。对于二维矩阵 A，它的行和可以表示为：

$S1$ = $a_{11}$ + $a_{12}$

$S2$ = $a_{21}$ + $a_{22}$

设矩阵 A 的特征值为 λ1 和 λ2，对应的特征向量为 x1 和 x2，则有：

$Ax_1$ = λ1 $x_1$ = $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x_{11}\\x_{12}\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}x_{11}\\x_{12}\end{bmatrix}$

$Ax_2$ = λ2 $x_2$ = $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x_{21}\\x_{22}\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}x_{21}\\x_{22}\end{bmatrix}$

因此，我们可以推导出：

$S1$ = $a_{11}$ $x_{11}$ + $a_{12}$ $x_{12}$ = λ1 $x_{11}$ + λ1 $x_{12}$ = λ1（$x_{11}$ + $x_{12}$）

$S2$ = $a_{21}$ $x_{21}$ + $a_{22}$ $x_{22}$ = λ2 $x_{21}$ + λ2 $x_{22}$ = λ2（$x_{21}$ + $x_{22}$）

从上面的推导过程中我们可以看出，矩阵的行和与特征值之间是存在数值关系的。当矩阵 A 的特征值为 λ1 和 λ2 时，矩阵的行和 S1 和 S2，可以分别表示为 λ1（$x_{11}$ + $x_{12}$）和 λ2（$x_{21}$ + $x_{22}$）。

三、矩阵行和与特征值正负性关系

除了数值关系之外，矩阵的行和与特征值之间还存在着一定的正负性关系。我们以实对称矩阵为例来进行探讨。

由谱定理可知，实对称矩阵具有n个实数特征值，而且特征向量可以正交归一化。

对于一个n维的实对称矩阵A∈$R^{n×n}$，其特征值为λ1,λ2,…,λn，并且因为是实对称矩阵，所以其特征值都为实数。设 A 的特征向量对应的正交单位向量为 $\begin{Bmatrix} x_1,x_2,...,x_n \end{Bmatrix}$，则有：

$S$ = $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}$

= $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n {x_{ij}}^2 \lambda_i$

= $\sum_{i=1}^n \lambda_i \sum_{j=1}^n {x_{ij}}^2$

从上式可以看出，矩阵的行和 S 与特征值 λ 的正负性关系，取决于所有特征向量对应坐标平方和的大小关系。当 $\sum_{j=1}^n {x_{ij}}^2$ 相同时，行和 S 与特征值 λ 相等，否则行和 S 与特征值 λ 取反。