行列式特征值相加

小希 2023-12-07 09:46:51

行列式特征值相加是线性代数中一个基本的概念，而且应用非常广泛。在本篇文章中，我们将从多个角度分析这个概念，包括定义、性质、应用、证明等等。

行列式特征值相加

行列式特征值相加

定义

行列式特征值相加是指一个矩阵的所有特征值之和等于其主对角线上元素的代数和。具体而言，设$A$为一个$n \times n$的矩阵，则$A$的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$，则$A$的行列式特征值相加为$\sum_{i=1}^n \lambda_i$。

性质

行列式特征值相加有以下性质：

1. 行列式特征值相加等于矩阵的迹

迹是矩阵主对角线上元素的和，即$Tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$，其中$a_{ii}$表示$A$的第$i$行第$i$列元素。则有$Tr(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i$。

证明：设$P$为一个矩阵，满足$AP=PD$，其中$D$是一个对角线矩阵，其对角线元素为$D_{ii}=\lambda_i$。则有

Tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}=Tr(P^{-1}AP)=Tr(D)

又因为$D$是对角线矩阵，所以$Tr(D)=\sum_{i=1}^n D_{ii}=\sum_{i=1}^n \lambda_i$，证毕。

2. 行列式特征值相加等于矩阵的行列式

即$\sum_{i=1}^n\lambda_i=|A|$。

证明：由于$\lambda_i$是$A$的特征值，则有$|A-\lambda_iI|=0$。对于上式两边同时乘以$(x-\lambda_i)$，则有

|xI-A|=\prod_{i=1}^n (x-\lambda_i)

将$x$取为0，则有

|A|=|0I-A|=\prod_{i=1}^n (0-\lambda_i)=(-1)^n\prod_{i=1}^n \lambda_i

所以$\sum_{i=1}^n\lambda_i=(-1)^{n-1}\frac{|A|}{a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}}=|A|$，证毕。

3. 当且仅当矩阵可逆时，所有特征值之和不为0

当矩阵不可逆时，至少存在一个特征值为0。如果所有特征值之和不为0，则存在一个非0特征值，根据矩阵特征值的定义，即存在一个非0向量$v$，使得$Av=\lambda_i v$。进而有$A^{-1}v=\lambda_i^{-1}v$，即$Av=\frac{1}{\lambda_i}v$，这表示存在一个非0的维度，使得矩阵$A$具有逆矩阵。所以当矩阵可逆时，所有特征值之和不为0。

应用

行列式特征值相加有广泛的应用，下面列举几个例子：

1. 计算矩阵的迹

由于行列式特征值相加等于矩阵的迹，因此可以用行列式特征值相加的公式来计算矩阵的迹。

2. 计算矩阵行列式

由于行列式特征值相加等于矩阵的行列式，因此可以用行列式特征值相加的公式来计算矩阵的行列式。

3. 判断矩阵是否可逆

当矩阵的行列式不为0时，矩阵可逆。由于行列式特征值相加等于矩阵的行列式，因此可以用行列式特征值相加的公式来判断矩阵是否可逆。

证明

接下来给出行列式特征值相加的证明。由于证明比较繁琐，这里只给出简要的过程。

设$A$为一个$n \times n$的矩阵，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$为$A$的特征值，$v_1, v_2, \cdots, v_n$为对应的特征向量。

对于特征向量$v_i$，有$Av_i=\lambda_i v_i$。将所有的$v$合在一起，得到一个$n \times n$的矩阵$V$：